Ejercicios Propiedades Conmutativa Asociativa Y Distributiva
Propiedades Asociativa, Conmutativa, y Distributiva
Objetivos de Aprendizaje
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Identificar y usar las propiedades conmutativas de la suma y la multiplicación.
·
Identificar y usar las propiedades asociativas de la suma y la multiplicación.
·
Identificar y usar la propiedad distributiva.
Introducción
Hay muchas veces que en el álgebra necesitas simplificar una expresión. Las propiedades de los números reales proveen herramientas para ayudarte a tomar una expresión complicada y simplificarla.
Las propiedades asociativa, conmutativa, y distributiva del álgebra son propiedades que se usan comúnmente para simplificar expresiones algebraicas. Querrás tener un buen entendimiento de estas propiedades para hacer problemas algebraicos más fáciles de resolver.
La Propiedad Conmutativa de la Suma y de la Multiplicación
Te encontrarás con rutinas diarias cuyo orden puede ser intercambiado sin modificar el resultado. Por ejemplo, piensa en servir una taza de café en la mañana. Tendrás la misma taza de café sin importar en qué orden añades los ingredientes:
·
Servir 12 onzas de café en una taza, luego añadir leche.
·
Añadir leche en una taza, luego añadir 12 onzas de café.
El orden en el que añades los ingredientes no importa. De la misma manera, no importa si te pones primero el zapato izquierdo o si te pones primero el zapato derecho para ir a trabajar. Siempre y cuando traigas puestos los dos zapatos al salir de tu casa, ¡todo saldrá bien!
En las matemáticas, decimos que estas situaciones son conmutativas — el resultado será el mismo (el café se prepara a tu gusto; sales de tu casa con ambos zapatos puestos) sin importar el orden en el que se realizan las tareas.
Igualmente, la
propiedad conmutativa de la suma
die que cuando dos números son sumados, el orden puede ser cambiado sin afectar el resultado. Por ejemplo, thirty + 25 da el mismo resultado que 25 + 30.
30 + 25 = 55
25 + 30 = 55
La multiplicación se comporta de la misma forma. La
propiedad conmutativa de la multiplicación
dice que cuando dos números se multiplican, su orden puede cambiar sin afectar el resultado. Por ejemplo, 7
·
12 tiene el mismo producto que 12
·
vii.
7
·
12 = 84
12
·
seven = 84
Estas propiedades se aplican a todos los número reales. Echemos un vistazo a algunos ejemplos de suma.
Ecuación Original |
Ecuación reescrita |
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1.2 + three.viii = v |
iii.viii + 1.2 = v |
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14 + (−10) = 4 |
(−ten) + xiv = four |
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(−5.2) + (−three.half-dozen) = −eight.8 |
(−3.6) + (−v.two) = −8.viii |
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Para cualesquiera números reales |
La resta no es conmutativa. Por ejemplo, 4 − seven no tiene la misma diferencia que 7 − four. Aquí, el signo − significa resta.
Sin embargo, recuerda que 4 − vii puede reescribirse como 4 + (
−
vii), porque restar united nations número es lo mismo que sumar su opuesto. Aplicando la propiedad conmutativa de la suma, puedes decir que 4 + (
−
vii) es lo mismo que (
−
7) + 4. Observa cómo esta expresión es muy distinta a 7 – iv.
Ahora veamos algunos ejemplos de multiplicación.
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4.5 |
ii |
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(−5) |
3 |
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Para cualesquiera números reales |
El orden no importa siempre y cuando las dos cantidades se multipliquen. Esta propiedad funciona para números reales y para variables que representen números reales.
De la misma forma que la resta, la división tampoco es conmutativa. 4 ÷ 2 no tiene el mismo cociente que 2 ÷ 4.
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||
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Problema |
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(
35.5 + (
35.5 + (
35.five – xv.5 = xx |
Sumando.
Usando la propiedad conmutativa, puedes cambiar el
Sumar 35.5 y |
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|
||
Reescribe 52 •
y
de una manera distinta, usando la propiedad conmutativa de la multiplicación. Ten en cuenta que
y
representa un número existent.
A) fivey
• two
B) 52y
C) 26 • 2 •
y
D)
y
• 52
Mostrar/Ocultar Respuesta
A) fivey
• 2
Incorrecto. No puedes cambiar un dígito de 52 y pegarlo a la variable
y. La respuesta correcta es
y
• 52.
B) 52y
Incorrecto. Esta es otra manera de escribir 52 •
y,
pero no has usado la propiedad conmutativa. La respuesta correcta es
y
• 52.
C) 26 • 2 •
y
Incorrecto. No necesitas factorizar 52 en 26
·
two. La respuesta correcta es
y
• 52.
D)
y
• 52
Correcto. El orden de los factores ha sido invertido.
Las Propiedades Asociativas de la Suma y de la Multiplicación
La
propiedad asociativa de la suma
dice que los números en una expresión aditiva pueden agruparse de distinta manera sin cambiar la suma. Puedes recordar el significado de la propiedad asociativa recordando que cuando te
asocias
con familiares, amigos, y compañeros, formas grupos con ellos.
Abajo hay dos maneras de simplificar el mismo problema de suma. En el primer ejemplo, el 4 se agrupa con el 5, y iv + five = nine.
4 + 5 + half-dozen = 9 + 6 = 15
Aquí, en el mismo problema, primero se agrupan el five y el 6, five + half-dozen = eleven.
4 + 5 + 6 = 4 + 11 = 15
En ambos casos, la suma es la misma. Esto ilustra que cambiar el agrupamiento de números que se suman resulta en el mismo número.
Los matemáticos normalmente usan paréntesis para indicar qué operación debe realizarse primero en una ecuación algebraica. Los problemas de suma de arriba se reescriben, esta vez usando paréntesis para indicar su agrupamiento asociativo.
(four + 5) + 6 = 9 + vi = xv
4 + (5 + 6) = four + 11 = 15
Es claro que los paréntesis no afectan la suma; la suma sigue siendo la misma a pesar de que se han incluido paréntesis.
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Para cualesquiera números reales |
El ejemplo de abajo muestra cómo se aplica la propiedad asociativa para simplificar expresiones con números reales.
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Problema |
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7 + 2 + viii.five – 3.v 7 + two + 8.5 + (−3.five) |
La propiedad asociativa no aplica a las expresiones de resta. Entonces, reescribe la expresión como la suma de un número negativo. |
|||
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(7 + 2) + 8.five + (−3.5) nine + eight.five + (−three.v) 17.v + (−three.5)
17.5 |
Agrupa 7 y 2, y súmalos. Luego, súmales 8.five. Finalmente, suma Resta 3.5. La suma es 14. |
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7 + 2 + (8.5 + (−3.five)) 7 + 2 + 5 9 + 5 14 |
Agrupa 8.5 y –iii.5, y luego súmalos para obtener 5. Luego suma 7 y ii, y súmalos al 5. La suma es 14. |
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||||
La multiplicación tiene una propiedad asociativa que funciona exactamente igual que la de la suma. La
propiedad asociativa de la multiplicación
dice que los números en una expresión de multiplicación pueden reagruparse usando paréntesis. Por ejemplo, la expresión siguiente puede ser reescrita de dos maneras distintas usando la propiedad asociativa.
Expresión original:
Expresión one:
Expresión two:
el paréntesis no afecta el producto, el producto es el mismo sin importar en dónde están los paréntesis.
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Para cualesquiera números reales |
Reescribe
usando la propiedad asociativa.
A)
B)
C)
D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
A)
Correcto. Aquí, los números están reagrupados. Ahora
y
están agrupados en paréntesis en lugar de
y 6.
B)
Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribes la expresión usando la propiedad asociativa de la multiplicación. Cómo están
agrupados
es lo que debe cambiar. La respuesta correcta es
.
C)
Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribes la expresión usando la propiedad asociativa de la multiplicación.
Sólo
cómo están
agrupados
es lo que debe cambiar. La respuesta correcta es
.
D)
Incorrecto. Multiplicar dentro de los paréntesis no es aplicar la propiedad. La respuesta correcta es
.
Usando las Propiedades Asociativa y Conmutativa
Encontrarás que las propiedades asociativa y conmutativa son herramientas útiles en el álgebra, especialmente cuando tienes que evaluar expresiones. Usando las propiedades conmutativa y asociativa, puedes reordenar los términos en una expresión para que números compatibles queden uno junto al otro y agrupados. Los números compatibles son números que son fáciles de calcular, como 5 + 5, o iii
·
10, o 12 – 2, o 100 ÷ 20. (El criterio primary para números compatibles es que “funcionan bien” juntos.) Los dos ejemplos siguientes muestran cómo se hace.
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Problema |
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Expresión original.
Sustituir
The states la propiedad asociativa de la multiplicación para reagrupar los factores de tal forma que four y
Multiplica. 4 veces |
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Problema |
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iv + 12 + iii + 4 – eight 12 + 3 + 4 + 4 + (−8) 12 + iii + (four + 4 + (−8)) 12 + 3 + 0 12 + 3 + 0 = xv |
Expresión original. Identifica los números compatibles. 4 + four es eight, y hay un −8. Recuerda que puedes pensar en el – eight como + (−8). Usa la propiedad conmutativa de la suma para agruparlos juntos. Usa la propiedad asociativa para agrupar 4 + iv + (−8). Suma 4 + 4 + (−viii). Suma el resto de los términos. |
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Simplifica la expresión: −five + 25 – 15 + 2 + 8
A) 5
B) 15
C) thirty
D) 55
Mostrar/Ocultar Respuesta
A) 5
Incorrecto. Cuando usas la propiedad conmutativa para reordenar sumandos, asegúrate de que los sumandos se lleven sus signos negativos. La respuesta correcta es fifteen.
B) 15
Correcto. Usa la propiedad conmutativa para reordenar la expresión de tal forma que los números compatibles queden uno junto al otro, y luego usa la propiedad asociativa para agruparlos.
C) thirty
Incorrecto. Revisa tu suma y tu resta, y piensa en el orden en el que puedes sumar los números. Us la propiedad conmutativa para reordenar la expresión de tal forma que los números compatibles queden uno junto al otro, y luego united states la propiedad asociativa para agruparlos. La respuesta correcta es fifteen.
D) 55
Incorrecto. Parece que has ignorado los signos negativos. Cuando usas la propiedad conmutativa para reordenar sumandos, asegúrate de que los sumandos se lleven sus signos negativos. La respuesta correcta es 15.
La Propiedad Distributiva
La
propiedad distributiva de la multiplicación
es una propiedad muy útil que nos permite reescribir expresiones en las que estás multiplicando un número por una suma o una resta. La propiedad dice que el producto de una suma o una resta como 6(5 – 2), es igual a la suma o resta de los productos, en este caso, half-dozen(5) – 6(two).
half-dozen(five – 2) = 6(3) = xviii
6(5) – 6(2) = 30 – 12 = 18
La propiedad distributiva de la multiplicación puede usarse cuando multiplicas united nations número por una suma. Por ejemplo, supón que quieres multiplicar 3 por la suma de 10 + ii.
3(10 + 2) = ?
de acuerdo con esta propiedad, puedes sumar los número 10 y 12 primero y luego multiplicar por 3, como se muestra aquí: iii(10 + 2) = 3(12) = 36. de manera alternativa, puedes multiplicar cada sumando por tres (a esto se le llama
distribuir
el 3), y luego puedes sumar los productos. El proceso se muestra a continuación.
iii (ten + ii) = 3(12) = 36
three(ten) + 3(2) = thirty + 6 = 36
Los productos son iguales.
Como la multiplicación es conmutativa, puedes usar la propiedad distributiva sin importar el orden de los factores.
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Para cualesquiera números reales |
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La multiplicación se distribuye sobre la suma:a(b |
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La multiplicación se distribuye sobre la resta: |
Reescribe la expresión x(9 – vi) usando la propiedad distributiva.
A) 10(6) – 10(nine)
B) ten(three)
C) x(6 – 9)
D) ten(9) – 10(half dozen)
Mostrar/Ocultar Respuesta
A) ten(six) – 10(9)
Incorrecto. Como la resta no es conmutativa, no puedes cambiar el orden. La respuesta correcta es 10(nine) – ten(6).
B) 10(3)
Incorrecto. Esta es una manera correcta de calcular la respuesta. Pero se te pidió reescribir el problema usando la propiedad distributiva. La respuesta correcta es x(9) – 10(6).
C) 10(half dozen – 9)
Incorrecto. Cambiaste el orden del six y del ix. Nota que la resta no es conmutativa y no usaste la propiedad distributiva. La respuesta correcta es ten(ix) – 10(6).
D) 10(ix) – 10(6)
Correcto. El 10 está correctamente distribuido de tal manera que se usa para multiplicar 9 y 6 separadamente.
Distribuyendo con Variables
Siempre y cuando las variables representen números reales, la propiedad distributiva puede usarse con ellas. La propiedad distributiva es importante en el álgebra, y muchas veces verás expresiones como esta: 3(10
– v). Si se te pide expandir la expresión, puedes aplicar la propiedad distributiva de la misma forma que lo harías con enteros.
3 (x
– 5 ) = 3(x) – iii(five) = threeten
– 15
Recuerda, cuando multiplicas un número por una variable, puede escribirlos uno junto al otro para expresar que se están multiplicando. Entonces, la expresión “tres veces la variable
ten” se puede escribir de varias formas: 310, 3(x), o three
·
x.
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Problema |
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9(4 + 9(iv) + ix(10)
36 + ixx |
Expresión original. Distribuye el ix y multiplica. Multiplica. |
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Problema |
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five(twoten 5(210) – 5(3)
10ten 10(2) – 15 twenty – 15 = 5 |
Expresión original. Distribuye el 5. Multiplica.
Sustituye 2 por |
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En el ejemplo inductive, ¿qué crees que pasaría si sustituyes
x
= 2 antes de distribuir el ? ¿Obtendrías el mismo resultado de 5? El ejemplo siguiente muestra lo que pasaría.
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Problema |
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v(iix 5(ii(2) – iii) 5(4 – 3) 5(4) – 5(three) 20 – 15 = five |
Expresión original.
Sustituye 2 por Multiplica. Resta y evalúa. |
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Combinando Términos Semejantes
La propiedad distributiva también puede ayudar a entender una idea key en el álgebra: que cantidades como 3ten
y 1210
pueden sumarse y restarse de la misma manera que los números iii y 12. Veamos united nations ejemplo para ver cómo se hace esto.
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Problema |
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3(x) + 12(x)
o
15ten |
3x
De estudiar la propiedad distributiva (y también usando la propiedad conmutativa, sabes que Combina los términos dentro de los paréntesis: 3 + 12 = 15. |
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¿Viste lo que pasó? Si penamos que
10
es una cantidad distribuida, puedes ver que threex
+ 12x
= 15x. (Si no estás seguro de ello, intenta sustituir cualquier número por
x
en la expresión… encontrarás que siempre es válido!)
Los grupos de términos que consisten en un coeficiente multiplicado por la misma variable se llaman “términos semejantes”. La tabla siguiente muestra algunos grupos diferentes de términos semejantes:
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threex, 7ten, |
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−one.1y, −4y, −viiiy |
|
12t, 25t, 100t, |
|
4ab, |
Siempre que ves términos semejantes en una expresión algebraica o una ecuación, puedes sumarlos o restarlos como lo harías con números reales. Por ejemplo,
teny
+ 12y
= 22y, y 810
– 3x
– 2x
= threeten.
Ten cuidado de no combinar términos que no tienen la misma variable: ¡4x
+ 2y
no es 6xy!
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Problema |
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teny
fifteeny |
Hay términos semejantes en esta expresión, porque todos son un coeficiente multiplicado por una variable
Suma los términos semejantes. teny |
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Simplifica: 12x
–
x
+ 2x
– 8x.
A) 2310
B) 5
C) v10
D)
x
Mostrar/Ocultar Respuesta
A) 23x
Incorrecto. Parece que sumaste todos los términos. Observa que −x y −8x son negativos. La respuesta correcta es 5x.
B) 5
Incorrecto. Combinaste los enteros correctamente, ¡pero recuerda incluir la variable también! La respuesta correcta es vx.
C) v10
Correcto. Cuando combinas los términos semejantes, resulta la suma de vten
.
D)
ten
Incorrecto. Parece que restaste de 12ten
todos los términos. Observa que −10 y −8x son negativos, pero twox
es positivo. La respuesta correcta es fiveten.
Sumario
Las propiedades conmutativa, asociativa, y distributiva nos ayudan a reescribir expresiones algebraicas complicadas a otras más fáciles de entender. Cuando reescribes una expresión usando la propiedad conmutativa, cambias el orden de los números que están siendo sumados o multiplicados. Cuando reescribes una expresión usando la propiedad asociativa, agrupas pares distintos de números usando paréntesis. Puedes usar las propiedades conmutativa y asociativa para reagrupar y ordenar cualquier número en una expresión siempre y cuando la expresión esté hecha enteramente de sumandos o factores (y no una combinación de ellos). La propiedad distributiva puede usarse para reescribir expresiones con varios propósitos. Cuando estás multiplicando un número por una suma, puedes sumar y luego multiplicar. También puedes multiplicar primero cada sumando y luego sumar los producto. Aplica el mismo principio si estás multiplicando un número por una diferencia.
Ejercicios Propiedades Conmutativa Asociativa Y Distributiva
Source: http://content.nroc.org/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L3_T1_text_final_es.html
