Cuando Un Numero Es Divisible Por 8

Un
número poderoso
es un número natural
one thousand
tal que por cada número primo
p
que divide a
g,
p
ⁱⁱ
también dissever a
chiliad. De manera equivalente, un número poderoso es el producto de un cuadrado y de united nations cubo, es decir, un número
m
de la forma

grand
=
a
^two
b
³,
donde
a
y
b
son números enteros positivos. Los números poderosos también se conocen como
cuadrados completos
o
two-completos. Paul Erdős y George Szekeres estudiaron tales números y Solomon W. Golomb los llamó
poderosos.

La siguiente es una lista de todos los números poderosos entre one y 1000:

1, four, 8, 9, sixteen, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243 , 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900 , 961, 968, 972, 1000, … (sucesión A001694 en OEIS).

Equivalencia de las dos definiciones

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Si
m
=
a
²
b
³, entonces todo primo en la factorización de
a
aparece en la descomposición en factores primos de
m
con un exponente de al menos dos , y todo primo en la descomposición en factores primos de
b
aparece en la descomposición en factores primos de
1000
con un exponente de al menos tres; por lo tanto,
thou
es poderoso.

En la otra dirección, supóngase que
g
es poderoso, con descomposición en factores primos

1000=\prod p_{i}^{\blastoff _{i}},

donde cada α_i
≥ ii. Defínase
γ
_i
como tres si
α
_i
es impar, y cero en caso contrario, y définase
β
_i
=
α
_i
−
γ’ ‘
i. Entonces, todos los valores
β

i
son enteros pares no negativos, y todos los valores γ_i
son cero o tres, y entonces

m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{ii}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}

proporciona la representación deseada de
m
como producto de un cuadrado y de un cubo.

Informalmente, dada la descomposición en factores primos de
m, basta tomar
b
como el producto de los factores primos de
m
que tienen un exponente impar (si no hay ninguno, entonces tomar
b
como 1). Debido a que
yard
es poderoso, cada gene primo con united nations exponente impar tiene un exponente que es al menos 3, por lo que
thousand/b
³
es un número entero. Además, cada factor primo de
m/b
³
tiene united nations exponente par, por lo que
grand/b
³
es un cuadrado perfecto, y por lo tanto se puede denominar
a
^two. Entonces,
yard
=
a
²
b
^three. Por ejemplo:

m=21600=ii^{5}\times three^{iii}\times v^{2}\,,

b=two\times three=half-dozen\,,

a={\sqrt {\frac {one thousand}{b^{3}}}}={\sqrt {two^{ii}\times 5^{2}}}=10\,,

m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times half-dozen^{iii}\,.

La representación
m
=
a
²
b
^three
calculada de esta manera tiene la propiedad de que
b
es libre de cuadrados, y está definido de manera única por esta propiedad.

Propiedades matemáticas

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La suma de los recíprocos de los números poderosos converge. El valor de esta suma se puede escribir de varias otras formas, incluso como el producto infinito

\prod _{p}\left(1+{\frac {i}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{two\pi ^{iv}}}\zeta (3)=1.9435964368…,

donde
p
se encuentra representa la secuencia de todos los números primos, ζ(s) denota la función zeta de Riemann y
ζ(3) es la constante de Apéry.^[1] (sucesión A082695 en OEIS) De manera más general, la suma de los recíprocos de las ‘s’-ésimas potencias de los números poderosos (una función generadora de la serie de Dirichlet) es igual a

{\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}

cada vez que converge.

Ocean
k(x) el número de números poderosos en el intervalo [i,x]. Entonces
yard(ten) es proporcional a la raíz cuadrada de
x. Más precisamente,

cx^{one/2}-3x^{1/3}\leq chiliad(x)\leq cx^{one/2},c=\zeta (three/2)/\zeta (3)=ii.173\ldots

(Golombo, 1970).

Los dos números poderosos consecutivos más pequeños son 8 y ix. Dado que la ecuación de Pell
$x ii - 8 y two = 1$
tiene infinitas soluciones enteras, hay infinitos pares de números poderosos consecutivos (Golomb, 1970); de manera más general, se pueden encontrar números poderosos consecutivos resolviendo la ecuación de Pell similar
$x 2 - ny two = \pmi$
para cualquier cubo
$due north$ . Sin embargo, uno de los dos números poderosos en un par formado de esta manera debe ser un cuadrado. Según Guy, Erdős se preguntó si hay infinitos pares de números poderosos consecutivos como
$(23 3, 2 three three 2132)$
en los que ninguno de los números del par es un cuadrado. Walker (1976) de mostró que, de hecho, hay infinitos pares de este tipo al comprobar que
$33 c 2 + one= vii iii d 2$
tiene infinitas soluciones.

Las soluciones de Walker para esta ecuación se generan, para cualquier número entero impar
$g$ , considerando el número

(two{\sqrt {vii}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {seven}}+b{\sqrt {3}},

para los números enteros
$a$
divisible por seven y
$b$
divisible por 3, y construyendo a partir de
$a$
y
$b$
los números poderosos consecutivos
$7 a 2$
y
$three b 2$
con
$7 a 2 = 1 + 3 b two$ .

El par consecutivo más pequeño de esta familia se genera para
$k = one$ ,
$a = 2637362$
y
$b = 4028637$
como

7\cdot 2637362^{2}=ii^{two}\cdot 7^{iii}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308

iii\cdot 4028637^{2}=three^{iii}\cdot 139^{two}\cdot 9661^{two}=48689748233307.

Es una conjetura de Erdős, Mollin y Walsh que no hay tres números poderosos consecutivos. Si existe un triplete de números poderosos consecutivos, entonces debe tener la forma ( $36 k + 7$ ,
$36 grand + 8$ ,
$36 chiliad + 9$ ), ( $36 k + 27$ ,
$36 k + 28$ ,
$36 grand + 29$ ), o ( $36 k - 1$ ,
$36 k$ ,
$36 thou + 1$ ), cuando
$thou$
es un número entero positivo.^[2]

Sumas y diferencias de números poderosos

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Prueba visual de que las diferencias de cuadrados consecutivos son números impares consecutivos

Cualquier número impar es una diferencia de dos cuadrados consecutivos: (thousand
+ 1)²
=
k
²
+ iik
+ 1, entonces (grand
+ 1)² −k
ⁱⁱ
= 2k
+ one. De manera similar, cualquier múltiplo de cuatro es una diferencia de los cuadrados de dos números que difieren en dos: (k
+ two)²&nbsp ;+k
^two
= 4yard
+ four. Sin embargo, un número simplemente par, es decir, un número divisible por dos pero no por cuatro, no se puede expresar como una diferencia de cuadrados. Esto motiva la cuestión de determinar qué números pares individuales pueden expresarse como diferencias de números poderosos. Golomb publicó algunas representaciones de este tipo:

ii = 3ⁱⁱⁱ +v²

10 = 13³ − 3^seven

18 = 19² − 7³
= 3⁵ − 15².

Se había conjeturado que el 6 no se puede representar así, y Golomb conjeturó que hay infinitos números enteros que no se pueden representar como una diferencia entre dos números poderosos. Sin embargo, Narkiewicz demostró que el 6 puede representarse de infinitas maneras, como

6 = 5⁴vii³ + 463²,

y McDaniel demostró que todo número entero tiene infinitas representaciones de este tipo (McDaniel, 1982).

Erdős conjeturó que todo número suficientemente grande es una suma de, como máximo, tres números poderosos; esto fue probado por Roger Heath-Brownish (1987).

Generalización

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De forma más general, se pueden considerar los números enteros cuyos factores primos tienen exponentes al menos
k. United nations entero de este tipo se denomina número
k-poderoso o número
g-completo.

(2^k+1 − 1)^g, ii^g(2^grand+ane − 1)^g, (2^k+1 − 1)^k+one

son números
m-poderosos en una progresión aritmética. Además, si
a
₁,
a
₂, …,
a
_south
son
k-poderosos en una progresión aritmética con diferencia común
d, entonces

a
₁(a
_s
+
d)^grand,

a
₂(a
_s +d)^k, …,
a
_s(a
_s +d’ ‘)
1000, (a

s + d)
thousand+1

son
s
+ one números
k-poderosos en una progresión aritmética.

Se tiene una identidad que involucra números
k-poderosos:

a
^k(a
^l
+ … + 1)^k
+
a
^{k

+ ane}(a
⁵⁰
+ … + ane)^k
+ … + ‘ ‘a

k
+
l(a

l
+ … + 1)
one thousand
=
a

k(a

50
+ … +1)
k+i.

Esto da infinitas tuplas
fifty+1 de números
k-poderosos cuya suma también es
yard-poderosa. Nitaj muestra que hay infinitas soluciones de
x+y=z
en números relativamente primos de 3 potencias (Nitaj, 1995). Cohn construye una familia infinita de soluciones de
x+y=z
en números 3-poderosos primos entre sí no cúbicos de la siguiente manera: el triplete

X
= 9712247684771506604963490444281,
Y
= 32295800804958334401937923416351,
Z
= 27474621855216870941749052236511

es una solución de la ecuación 32X
³
+ 49Y
^three
= 81Z
³. Se puede construir otra solución configurando
Ten′ =
X(49Y
³ + 81Z
³),
Y′ = −Y(3210
^three + 81Z
³),
Z′ =
Z(32X
³ − 49Y
³) y omitiendo el divisor común.

Véase también

[editar]

Número de Aquiles
Número altamente poderoso

Referencias

[editar]

↑
(Golomb, 1970)
↑

Beckon, Edward (2019). «On Sequent Triples of Powerful Numbers».
Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Periodical
twenty
(two): 25-27.

Bibliografía

[editar]

Cohn, J. H. E. (1998). «A conjecture of Erdős on three-powerful numbers».
Math. Comp.
67
(221): 439-440.
doi:10.1090/S0025-5718-98-00881-iii.
Erdős, Paul; Szekeres, George (1934). «Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem».
Acta Litt. Sci. Szeged
vii: 95-102.
Golomb, Solomon W. (1970). «Powerful numbers».
American Mathematical Monthly
77
(8): 848-852.
JSTOR 2317020.
doi:10.2307/2317020.
Guy, Richard K. (2004).
Unsolved Issues in Number Theory
(3rd edición). Springer-Verlag. pp. Section B16.
ISBN 978-0-387-20860-2.
Heath-Brown, Roger (1988). «Ternary quadratic forms and sums of iii foursquare-total numbers».
Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7. Boston: Birkhäuser. pp. 137-163.
Heath-Brown, Roger (1990). «Sums of iii square-full numbers».
Number Theory, I (Budapest, 1987). Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51. pp. 163-171.
Ivić, Aleksandar (1985).
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ISBN 978-0-471-80634-9.
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McDaniel, Wayne L. (1982). «Representations of every integer equally the difference of powerful numbers».
Fibonacci Quarterly
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Nitaj, Abderrahmane (1995). «On a theorize of Erdős on three-powerful numbers».
Bull. London Math. Soc.
27
(4): 317-318.
doi:10.1112/blms/27.4.317. «citeseerx: 10.1.1.24.563 ».
Walker, David T. (1976). «Sequent integer pairs of powerful numbers and related Diophantine equations».
The Fibonacci Quarterly
14
(2): 111-116.
MR 0409348.

Enlaces externos

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Ability-total number
en Encyclopaedia of Mathematics.
Weisstein, Eric W. «Powerful number». En Weisstein, Eric W, ed.
MathWorld
(en inglés). Wolfram Research.
La conjetura abc
OEIS
sequence A060355 (Numbers n such that n and n+1 are a pair of consecutive powerful numbers)

Datos:
Q3191171